Te cuesta salir hacia adelante, justamente, porque arrojás la pelota verticalmente.
En realidad es bastante más simple de hacer que de explicar.  ¡Y mucho más natural!   
Cuando pegás plano, el giro de hombros es completo y, al saltar, lo hacés (naturalmente) hacia adelante llevando toda la energía de la raqueta desde la espalda hacia la bola en (digamos) una misma dirección, hacia adelante y (lo más importante) desde la altura maxima a la que consigas golpear.
Cuando sacás con kick, el giro de hombros no es tan pronunciado ya que el golpe es hacia arriba y hacia afuera, por lo que al lanzarte hacia adelante, naturalmente quedás debajo de la pelota, pues buscás golpear más abajo, pudiendo golpearla con comodidad. 
¿Por qué buscamos el golpe más abajo?  Porque (al contrario que en el saque plano) la raqueta debe continuar subiendo un poco más.  NO lo pegamos a la altura máxima, porque entonces no podríamos físicamente hacer subir más la raqueta (no nos alcanza más el brazo).
Ese abrazo.

Hay varios trucos prácticos a utilizar en la práctica del servicio que nos ayudarán a caer dentro de la pista. 
El que más acostumbro recomendar es colocar el canasto de pelotas en el centro de la pista, a un par de metros por delante de la línea de fondo.
Ubicar el canasto adelantado respecto de nosotros e ir tomando las pelotas una por una, nos obliga a desplazarnos hacia la red constantemente.  En nuestro subconsciente se va cimentando la idea de 'ir hacia la red' en cada servicio, automatizando la cadena de movimientos.
No.  El carro de pelotas adelantado no se interpone nunca en nuestra línea de saque. 
El segundo truco es colocar conos plásticos (bajos) por delante de la línea de fondo (dentro de la pista), en la zona desde la que servimos en cada lado de la pista, e intentar caer por delante de ellos. 
El beneficio de esto es doble; en principio nos obliga a impulsarnos hacia arriba para superar la altura de los conos y en segundo lugar, a impulsarnos hacia adelante (para no caer sobre ellos), entrando ya dentro de la pista.
¿Por qué conos plásticos?  Porque muchas veces caeremos sobre ellos al servir y es bueno que en estos casos, se aplasten y no provoquen torceduras de tobillo.
También pueden usarse segmentos de gomaespuma con las mismas medidas de un ladrillo (75x150x300).

Excelentes todos tus aportes Marisa. Agregaría a tu recomendación de tirar la bola por delante y caer dentro de la pista con la pierna opuesta a la mano del toss, es que la mayor fuerza que le daremos a nuestra saque provendrá precisamente de esa pierna, de la cinética que produce al ir a buscar la bola y caer, como zapatazo, sobre la pista.

Creo que te estás equivocando.  La pierna sobre la que tenés que caer es (justamente) la que tenés adelantada al comenzar el movimiento del saque (o sea la de la mano no dominante).
Si caés con la pierna de la raqueta, es porque estás girando en el aire como un trompo sin control.  De hecho, se hace casi imposible pronar la mano hacia afuera estando con el cuerpo apuntando hacia el lado opuesto.
Ese abrazo.

Fui a buscar al maestro y tienes razon, Guto.

https://www.youtube.com/watch?v=8OVodNRSrpU

El tema es que mi saque debe ser horrendo, (siempre plano o con slice, nunca liftado) ya que caigo sobre la otra pierna.
Casi nunca hago doble faltas, pero tambien es rarísimo que haga un ace. Aquel abrazo.

Yo NO recomiendo copiar (siempre) el estilo de los profesionales cuando sirven.  Hay que mirar con criterio sus vídeos y NO copiar por copiar, porque son los mejores (que lo son, sin duda).
Fíjense en que en este caso, Federer, mantiene muy abierta la cara de la raqueta cuando baja por detrás de la espalda.  Posición que corrije luego, en el recorrido hacia la pelota.  Esto es algo que nosotros debemos evitar, para lograr un mejor recorrido de la raqueta y un golpe más limpio sobre la pelota luego.
¿Para imitar?  Stanislas Wawrinka  //  Simona Halep o Alize Cornet (en chicas).

Un pequeño problema.
Acostumbro caer dentro de la pista, con posibilidades de continuar hacia adelante y hacer saque y volea o desplazarme rápido hacia los lados, cortando ángulos y manteniendo la iniciativa.  Peeeeeroooo...  Me encuentro a veces con jugadores que devuelven fuerte al centro y me pescan demasiado metido en la cancha como para armar un golpe afectivo o directamente me cae la pelota a los pies, impidiéndome hacer nada.
No es solo perder la iniciativa, sino que devuelva como devuelva quedo inmovilizado en 'tierra de nadie', a merced del próximo golpe.
Mis intentos de evitar que esto ocurra son inútiles; pues si salto verticalmente pierdo potencia y si salto hacia adelante, acabo dando pasos y quedando adelantado.
Necesito controlar la caída o evitar definitivamente a estos jugadores. 
Ese abrazo.

Guto, ¿tu saque es liftado?

A ver qué te dice la profe. 

El saque es una obsesión en mi caso, mido 1.86 pero no resulta ser mi mejor arma, pues mi segundo saque no es solido.  llevo un par de años fijandome mucho en ese golpe, diria que el 90% de los jugadores de club no impulsamos bien las piernas, sacamos de brazo, pensando que la potencia es acelerar mas el brazo, y es justo la parte menos importante.
Recomiendo el ejercicio de poner una caja de zapatos delante del pie, y sacar de forma que saltes la caja y caigas delante es una forma excelente de solucionar muchos errores, pues te obliga a tirarte la bola un poco dentro de la pista, saltar, golpear la bola con tu cuerpo inclinado hacia adelante, para caer en la misma pierna. La inercia hace que tu pierna contraria se levante, jugdores como Shapovalov o Feli es muy evidente, dando como una coz de caballo.Tambien es importante liberar la cadera despues del golpeo, si empezamos con la pelvis mirando a la valla lateral, sebe acabar mirando a la red. La potencia de esa cadena cinetica bien hecha no la puede producir ni el brazo de Thor. Fijaros en cualquier jugadora WTA, que mida 1.60 y pese por ejemplo 55 kg. Con ese cuerpo, sacar a 140 o 150 constantemente no puede ser fuerza de brazo o aceleracion, es el resultado de usar el músculo mas potente del homo sapiens, el cuadriceps.
Filmaos, si tus pies no se levantan apenas de suelo, o acabas el saque en el mismo sitio, señal que no estas aprovechando la fuerza de tus piernas. Consecuencias, saque menos solido, mas riesgo de lesiones por forzar con el hombro o brazo lo que deberia hacer todo tu cuerpo y menos potencia con la misma energia.
El problema empieza en la formación, se dedica poco tiempo a enseñar el saque, siendo el golpe mas decisivo del juego.Deberia ocupar con el resto la mitad de una clase.

Equilibrio., Guto.
Equilibrio es tu palabra clave.  Estás entrando en la pista, pero 'literalmente' cayendo en ella hacia adelante.
Necesitas conseguir equilibrio en tu servicio.
Lo que te recomiendo es que (sin pelota) practiques el golpe intentando detener (o congelar) el movimiento una vez acabado el follow through.
Has de quedar detenido y en equilibrio, con el brazo izquierdo (en tu caso que eres zurdo) recogido bajo el estómago, el brazo derecho hacia atrás, de pie sobre tu pierna derecha, la izquierda extendida hacia atrás.
El fundamento de que consigas permanecer en esta posición (sin caer hacia adelante) luego de realizar el servicio es concentrarte en acabar el movimiento en un estado de equilibrio.
Una vez que hayas dominado el ejercicio, lo harás con pelota; de manera progresiva has de imprimirle mayor velocidad a la pelota, hasta conseguir servir a tu máxima potencia sin dar más de UN paso hacia adelante (caes con el pie derecho y apoyas luego en izquierdo).
La clave sigue estando en el equilibrio, que en tu caso (imagino) se trata de que no extiendes la pierna izquierda al caer, lo que te obliga a dar pasos hacia adelante.

Servicio con peso:

Que gracia, asi le quitas "peso" al hilo